Modelos Duales [Definición]

Unidad 4 
Participación 2

Sea el modelo primal:

Max z= x1 + 2x2 + 3x3

s.a.

   x1 - x2 + x3   ≥ 1
- x1 + x2 + x3   = 7

  x1 + x2         ≤ 2

x1  libre, x2 ≥ 0, x3 ≤ 0

Buscamos hacer uso de la definición, misma que requiere la estructura canónica de maximización, por tanto pasamos el primal a dicha estructura:

Sustituiremos
x1 = x3 - x4, con x3, x4 ≥ 0 
x3 = - x5 → x5 ≥ 0

en el primal:

Max z= x3 - x4 + 2x2 + 3(- x5)

s.a.

    x3 - x4   - x2 + (- x5)   ≥ 1
- (x3 - x4) + x2 + (- x5)   = 7

   x3 - x4  + x2              ≤ 2

x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Ponemos los términos en orden, aplicamos la equivalencia 3 a la restricción 2 y simplificamos:

Max z= 2x2 + x3 - x4 - 3x5

s.a.

  x2 - x3 + x4 + x5  ≤  -1
  x2  - x3 + x4 - x5    ≤   7
- x2  + x3 - x4 + x5  ≤ -7

  x2 + x3 - x4         ≤  2

x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Ahora aplicamos la definición de modelo dual simétrico a nuestro primal, y obtenemos:

Min g= - y1' + 7y2' - 7y3' + 2y4'

s.a.

  y1' + y2'  - y3' + y4'  ≥  2

- y1'  -  y2' + y3' + y4' ≥  1

  y1' + y2'  -  y3' - y4'  ≥ -1

  y1' -  y2' +  y3'         ≥ -3

y1', y2', y3', y4' ≥ 0

Ahora, para que se vea más guapo, hacemos la sustitución:

-y1' = y1

 y2' - y3',= y2 

 y4' = y3 

y acto seguido aplicamos la equivalencia 3 para agrupar las restricciones 3 y 4, quedando finalmente:

Min g=  y1 + 7y2 + 2y3

s.a.

- y1 + y2 + y3  ≥  2

  y1  -  y2 + y3 =  1

  y1 + y2         ≤  3

y1 ≤ 0  y2 libre y3 ≥ 0