Tarea V

Programación de metas

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Tarea IV

Dando click en la imagen podrás descargar el PDF de nuestra tarea.

Método de las dos fases

Unidad 3
Participación 9

Sea el modelo:

Min z= -3x1+x2
s.a.

  x1- 2x2 ≥ 2
- x1+ x2 ≥ 0
   x1 , x2 ≥ 0

Lo pasamos a la forma estándar de maximización:

Construimos la primer tabla de la primera Fase del método, 

De donde concluimos que el modelo no tiene solución factible, puesto que la columna Cb tiene valores negativos.

William Wager Cooper

William Wager Cooper

   Fue un Investigador de Operaciones estadounidense, conocido como el padre de ciencias administrativas y como "Mr. Linear Programming" ("el Señor Programación Lineal").  Fue presidente fundador del Instituto de Ciencias Administrativas, editor en jefe fundador de "Auditing: A journal of Practice and Theory", miembro fundador de "Graduados de la Escuela de Administración Industrial" del CIT (Carnegie Institute of Technology) y profesor #Foster Parker# emérito de Gestión, Finanzas y Contabilidad en la Universidad de Texas, en Austin.

    William W. Cooper nació el 23 de julio de 1914, en Birmingham, Alabama. Creció en Chicago, donde su padre tenía varias estaciones de gasolina que cerraron durante "la Gran Depresión". Cooper abandonó la escuela en la preparatoria para contribuir economicamente en su hogar. Trabajo en un boliche, en un campo de golf y como boxeador profesional. Como boxeador ganó 58 enfrentamientos, perdió 3 y empató 2. Fue mientras trabajaba en el campo de golf, que conoció a Eric Kohler, un profesor de la Universidad del Noroeste, quién lo impulsó y financió su regreso a la escuela, en la Universidad de Chicago. Ahí, comenzó estudiando Fisicoquímica pero, inspirado por su trabajo para Kohler en un caso legal para cambiar la economía, se graduó como BA con honores Phi Beta Kappa en 1938.

    Después de graduarse, trabajó como contador para la Tenessee Valley Authority, donde Kohler laboraba. Allí participó en una auditoría de gestión y asignación de recursos matemáticos, y ayudó a Kohler a testificar ante un comité de investigación para el Congreso.En 1940, Cooper comenzzó a hacer estudios de posgrado en la Universidad de Columbia, pero no pudo finalizarlos (faltaba la tesis) debido a que sirvió a su país en la Segunda Guerra Mundial. Trabajó en la División de Normas de Estadística de la Oficina de Presupuesto de gobierno. Su artículo, publicado en 1945, donde describía sus actividades en la Guerra ganó el premio del Instituo Americano de Contadores como "el mejor artículo del año".

    Cooper empezó su carrera académica como profesor (1944-11946). En 1945 se casó con Ruth, una abogada y acivista  y en 1946 se unió al recien formado "Graduados de la Escuela de Administración Industrial" del CIT. Fue ahí donde contribuyó en importantes investigaciones con Abraham Charnes, George Leland Bach y Herbert A. Simon, y eventualmente se volvió profesro de la Universidad.

    En 1975, Harvard contrató a Cooper y lo trasladó del CMU para convertirse en profesor Dickinson de Contabilidad, y en 1980 se trasladó de nuevo a la Universidad de Texas, en Austin. William W. Cooper se retiró en 1993, pero continuó activo en la investigación hasta su muerte, el 20 de junio de 2012.

Referencias:

"William W. Cooper" Recuperado en Mayo 02 de <http://en.wikipedia.org/wiki/William_W._Cooper>

[Imagen de W.W. Cooper] "Cooper was a giant of bussiness education" Recuperada en Mayo 02 <http://www.utexas.edu/know/2012/06/20/cooper-william/>

Método de la gran M

Unidad 3
Participación 8

Resolver el modelo mediante el Método de la gran M.

Min z=3x1

s.a.

2x1 +   x2 ≥ 6
3x1 + 2x2 = 4
x1, x2 ≥ 0

Primero escribimos el modelo en su forma ampliada:

Min z=3x1 + Ma1 + Ma2

s.a.

2x1 +   x2 - x3 +a1 = 6
3x1 + 2x2         + a2 = 4
x1, x2 ≥ 0

Ejecutando el algoritmo:

Como ya no hay variable de entrada, termina el método, sin embargo no se logró hacer cero una de las variables artificiales, esto significa que el modelo no tiene solución factible.

Abraham Charnes

  Abraham Charnes , profesor emérito de ciencias de la gestión y sistemas informáticos , murió el 19 de diciembre de 1992. Tenía 75 años.

    El profesor Charnes nació el 4 de septiembre de 1917, en Hopewell , Virginia. Obtuvo licenciatura , maestría y un doctorado de la Universidad de Illinois en 1938 , 1939 y 1947 , respectivamente.

      El Dr. Charnes enseñó en el Instituto Carnegie de Tecnología, y de Purdue y Northwestern . En Northwestern fue profesor de Matemáticas Aplicadas de Walter P. Murphy. El profesor Charnes sr incorporó a la Universidad de Texas en Austin en 1968. Ocupó la cátedra de Jesse H. Jones y fue profesor del Sistema Universitario . Más tarde fue nombrado profesor de John P. Harbin en la Facultad de Administración de Empresas.

     Charnes fue una autoridad reconocida internacionalmente en el desarrollo de métodos matemáticos nuevos y avanzados que se utilizan para la resolución de problemas de gestión en el gobierno , la industria, la ingeniería y la medicina. El profesor Charnes publicó más de 200 artículos en revistas profesionales fue coautor de siete libros . Una de sus obras más conocidas , Introducción a la Programación Lineal , fue traducida al chino , ruso y japonés. Otra publicación , Modelos de Gestión y Aplicaciones Industriales de la programación lineal , se tradujo al checoslovaco .

      En 1975 el profesor Charnes fue finalista para el Premio Nobel de Economía. Él fue acreedor de otros honores, incluyendo el Premio John von Neumann del Instituto de Ciencias de la Gestión y la Sociedad de Investigación de Operaciones de América, así como el Premio Harold Lardner Memorial  de la Sociedad de Investigación de Operaciones en Canadá. También recibió la medalla de Servicio Público Distinguido de la Marina de los EE.UU. por sus contribuciones como físico investigador y analista de operaciones durante la Segunda Guerra Mundial.

Referencias:

Abraham Charnes, por John R. Durbin 

Recuperado en Abril 29, 2014 de 

http://www.utexas.edu/faculty/council/2000-2001/memorials/AMR/Charnes/charnes.html

Imagen de Abraham Charnes,

Recuperada en Abril 29, 2014 de

http://optimixacion.blogspot.mx/2012/05/abraham-charnes.html

Modelos Duales [Definición]

Unidad 4 
Participación 2

Sea el modelo primal:

Max z= x1 + 2x2 + 3x3

s.a.

   x1 - x2 + x3   ≥ 1
- x1 + x2 + x3   = 7

  x1 + x2         ≤ 2

x1  libre, x2 ≥ 0, x3 ≤ 0

Buscamos hacer uso de la definición, misma que requiere la estructura canónica de maximización, por tanto pasamos el primal a dicha estructura:

Sustituiremos
x1 = x3 - x4, con x3, x4 ≥ 0 
x3 = - x5 → x5 ≥ 0

en el primal:

Max z= x3 - x4 + 2x2 + 3(- x5)

s.a.

    x3 - x4   - x2 + (- x5)   ≥ 1
- (x3 - x4) + x2 + (- x5)   = 7

   x3 - x4  + x2              ≤ 2

x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Ponemos los términos en orden, aplicamos la equivalencia 3 a la restricción 2 y simplificamos:

Max z= 2x2 + x3 - x4 - 3x5

s.a.

  x2 - x3 + x4 + x5  ≤  -1
  x2  - x3 + x4 - x5    ≤   7
- x2  + x3 - x4 + x5  ≤ -7

  x2 + x3 - x4         ≤  2

x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Ahora aplicamos la definición de modelo dual simétrico a nuestro primal, y obtenemos:

Min g= - y1' + 7y2' - 7y3' + 2y4'

s.a.

  y1' + y2'  - y3' + y4'  ≥  2

- y1'  -  y2' + y3' + y4' ≥  1

  y1' + y2'  -  y3' - y4'  ≥ -1

  y1' -  y2' +  y3'         ≥ -3

y1', y2', y3', y4' ≥ 0

Ahora, para que se vea más guapo, hacemos la sustitución:

-y1' = y1

 y2' - y3',= y2 

 y4' = y3 

y acto seguido aplicamos la equivalencia 3 para agrupar las restricciones 3 y 4, quedando finalmente:

Min g=  y1 + 7y2 + 2y3

s.a.

- y1 + y2 + y3  ≥  2

  y1  -  y2 + y3 =  1

  y1 + y2         ≤  3

y1 ≤ 0  y2 libre y3 ≥ 0

Modelos Duales

Unidad 4
Participación 1

Sea el modelo primal:



Max w= 4y1 + 2y2 -y3

s.a.

y1 + 2y2            ≤ 6
y1 -    y2  + 2y3  = 8
y1, y2 ≥ 0 y3 no restringida

Haciendo uso del resumen, obtenemos el modelo dual correspondiente, considerando:

Max w             →  Min g
3 variables       →  3 restricciones
2 restricciones  →  2 variables
c                    →   cT
b                    →   bT
rest 1 ≤ b1          →   x1≥0
rest 2 = b2          →   x2 no restringida
y1 ≥ 0             → rest 1 ≥ c1
y2 ≥ 0             → rest 2 ≥ c2
y3 no rest        → rest 3 = c3


Entonces tenemos:


Min g= 6x1 + 8 x2

s.a.

  x1 + x2 ≥  4
2x1  - x2 ≥  2
       2x2 = -1

x1≥0
x2 no restringida

Programas computacionales del Método Simplex

Programa	URL	Características	Ventajas	Desventajas
PHPSimplex	Click	Es una herramienta online para resolver problemas de programación lineal. Su uso es libre y gratuito. PHPSimplex es capaz de resolver problemas mediante el método Simplex, el método de las Dos Fases, y el método Gráfico, y no cuenta con limitaciones en el número de variables de decisión ni en las restricciones de los problemas.	No solo muestra los resultados finales sino también las operaciones intermedias. También ofrece la solución directa para uso de profesionales. Otras de sus ventajas son que no precisa de ningún lenguaje para enunciar el problema, ofrece una interfaz amigable, es cercano al usuario, de manejo fácil e intuitivo, no es necesario instalar nada para poder usarlo, y está disponible en varios idiomas	En el método gráfico no específica la región factible.
JSimplex	Click	Permite resolver problemas de Programación Lineal usando el método Simplex. Para los problemas que tengan variables artificiales se usará el método de la gran M, y para los problemas que involucren variables enteras se usará el método de ramificar y acotar (branch and bound).	Se pueden ver los cálculos intermedios y la explicación de como resolver el problema.Sirve para problemas de variable entera.	No realiza método gráfico.
Método Simplex (ZweigMedia Inc.)	Click	Permite resolver modelos de Programación Lineal utilizando el Método Simplex.	Se obtiene la solución óptima, valor óptimo y cada una de las tablas del Método Simplex. Tiene tres modos de trabajo: entero, fracción y decimal.	La interfaz de la aplicación no es tan amigable con el usuario como en los otros programas. No resuelve para problemas de variable entera. No realiza método gráfico.
Simplex Online Calculator	Click	Es una aplicación que ayuda a resolver problemas de programación lineal. Aplica método simplex y algoritmo de las dos fases cuando el problema así lo requiere. Con ella el usuario puede ver paso a paso la ejecución del algoritmo, el elemento pivote, los xb, etcétera. Consta de varios menús como pasar a dual, añadir fila, borrar fila y ejecutar.	Hay también una versión para dispositivos android y permite manipular el dual, lo cual facilita la interpretación de resultados.	Tiene muchas ventanas emergentes de publicidad.
Pivot	Click	Pivot ha sido utilizado en todo el mundo para resolver problemas de programación lineales por el método Simplex. Pivot ha sido reescrito en Java. Con la ayuda de esta aplicación, serás capaz de resolver problemas lineales utilizando el método Simplex.	Dado que no es software libre, está en mejora continua lo cual permite tener asesoría al utilizarlo. Su versión de prueba tiene licencia de 6 meses.	Requiere Java y no es software libre.

Referencias: 

■     "PHPSimplex" Recuperado en abril 21 de «http://www.phpsimplex.com/» 

■     "JSimplex" Recuperado en abril 21 de «http://soft.ingenieria-industrial.net/programacion_lineal.php» 

■     "El método Simplex" Recuperado en abril 21 de «www.programacionlineal.net/simplex.html»

■     "Simplex Online Calculator" Recuperado en abril 22 de «http://www.mathstools.com/section/main/Simplex_On_Line?lang=es#.U1YfEFV5Ots»

■     "Pivot 3.01" de Bennette Harris, recuperado en abril 22 de «http://www.softpedia.es/programa-Harris-Pivot-208167.html»

Tarea III

UNIDAD 3. Actividad 1

Método Simplex

Pasos del método Simplex:

1. Seleccionar una solución básica factible inicial (en general es el origen).
2. Elegir a la variable de entrada, que en el caso de maximización será la variable no básica que tenga el valor más negativo y en el caso de minimización, aquella de valor positivo mayor.
3. Seleccionar la variable de salida basándose en la razón entre la columna de soluciones y el coeficiente respectivo a la columna de la v. de entrada ya elegida, teniendo en cuenta descartar aquellas razones en las que el coeficiente respectivo sea ≤=0.
4. Usar operaciones fila para hallar la nueva solución básica factible (actualizar tabla). 
5. Detenerse cuando ya no haya variables no básicas que cumplan la condición dada en 1, mientras no se llegue a ello repetir los pasos anteriores.

Problema

Pedrito es un pequeño fabricante de camisas para caballero y blusas de dama para las tiendas de descuento Waldos, corporación que aceptará toda la producción surtida por Pedrito, El proceso de producción incluye el corte, la costura, y el empaque. Se ha empleado a 25 trabajadores en el departamento de corte, 35 en el de costura y 5 en empaque. La fábrica trabaja un turno de 8 horas, 5 días a la semana. La siguiente tabla muestra los requerimientos de tiempo y utilidad por unidad para las dos prendas:

Modelo

Forma estándar

Tablas 

Comenzamos con la solución:

Como ya no hay más variables no básicas negativas, la solución es la óptima.

Resultados

Los resultados indican que deben producirse 480 camisas y 840 blusas, lo cual agota la disponibilidad de los departamentos de corte y costura aunque nos queda una holgura de 2,880minutos (48 horas) disponibles del departamento de empaque,  las cuales corresponden a la labor realizada por 1.2 personas a la semana, es decir, podríamos restar un empleado de ese departamento.

Referencias:

        "Algoritmo Simplex de tabla, enfoque algebraico". TeacherTube. Recuperado en Marzo 15, 2014 de: «https://www.youtube.com/watch?v=0OnZiwOQLmE»

TAREA II

Problema de planeación de producción:

Guión de vídeo

Disponible en:

https://docs.google.com/document/d/1MTRyP_rNlx0yT2ThpqzWZ6_NusA1gxP9Qf2PMoHJDgo/edit?usp=sharing

Conociendo a los alumnos

En el siguiente link podrás acceder al vídeo:


http://www.youtube.com/watch?v=pKL9zQaeFqQ&feature=youtube_gdata

TAREA 1

Sigue el enlace: 

https://docs.google.com/presentation/d/1NjR1pCVzNYKmzwQjCl9z7sJSkxOQ9yEnSi97zf5camw/pub?start=false&loop=false&delayms=3000

George Bernard Dantzig

      Fue un matemático ruso nacido el 8 de noviembre de 1914. Se le considera el padre de la programación lineal y entre sus trabajos podemos destacar el desarrollo del método simplex para resolución de problemas de esta rama de las Matemáticas.

     Un hecho real de su vida dio origen a una "leyenda" motivacional que palabras más, palabras menos dice lo siguiente:

     Un día Dantzig llegó tarde a una clase del profesor Jerzy Neyman (probablemente lo conozca por el lema de Neyman-Pearson). Al sentarse vio dos problemas escritos en la pizarra y consideró que eran trabajo para casa. Según las propias palabras de Dantzig “le parecieron ser un poco más difíciles de lo normal”, pero de todas formas días después consiguió las soluciones completas de los mismos. Seis semanas después Dantzig recibió la inesperada visita de su profesor Neyman, el cual le comunicó su hallazgo: había resuelto dos problemas estadísticos que hasta ese momento carecían de solución. Además le informó de que había preparado la resolución de uno de los problemas para su publicación en una revista matemática. Años despues Abraham Wald fue informado de que las conclusiones a las que había llegado en un trabajo que iba a publicar eran las mismas a las que había llegado Dantzig al resolver el otro problema. Por esta razón Wald incluyó a Dantzig como coautor de ese trabajo. 

     Por fortuna Dantzing vivió el tiempo suficiente para confirmar la historia. Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias, la Academia Nacional de Ingeniería y la Academia Americana de Artes y Ciencias. Obtuvo su licenciatura en Matemáticas y Física en la Universidad de Maryland en 1936, su grado de máster en Matemáticas en la Universidad de Míchigan, y su doctorado en la Universidad de California, Berkeley en 1946. Recibió además un doctorado honorario de la Universidad de Maryland en 1976.

     El padre de Dantzig, Tobías Dantzig, fue un matemático ruso que realizó estudios con Henri Poincaré en París. Tobías se casó con una estudiante de la universidad de la Sorbona, Anja Ourisson, y la pareja emigró a los Estados Unidos.

     Cuando comenzó la Segunda Guerra Mundial, Dantzig interrumpió sus estudios en Berkeley para unirse a las Fuerza Aérea de los Estados Unidos como jefe de la Rama de Análisis de Combate de los Cuarteles Centrales Estadísticos, lo cual lo llevó a lidiar con las logísticas de la cadena de abastecimiento y gestión de cientos de miles de ítems y personas. Este trabajo proporcionó los problemas del "mundo real" que la programación lineal vendría a resolver.

     Dantzig murió el 13 de mayo de 2005 en su casa en Stanford, California, debido a complicaciones producto de la diabetes y problemas cardiovasculares.

Referencias

■             Wikipedia. "George Dantzing". Acceso: febrero 09, 2014 Disponible en: «http://es.wikipedia.org/wiki/George_Dantzig»

 ■            Gaussianos. "La leyenda de Dantzing" Acceso: febrero 07, 2014 Disponible en: «http://gaussianos.com/la-leyenda-de-dantzig/»

 ■           [Caricatura de Dantzing] 09 de Febrero de 2014. Archivo de la autora mediante MomentCam(R). 

Definición de palabras clave

Palabra	URL	Definición
Viviente	http://lema.rae.es/drae/?val=viviente	(Del ant. part. act. de vivir; lat. vivens, -entis). 1. adj. Que vive. U. t. c. s.
No viviente	http://lema.rae.es/drae/?val=inanimado	1. adj. Que no tiene alma (‖ espiritual). 2. adj. Que no tiene alma (‖ principio sensitivo de los animales). 3. adj. Que no da señales de vida.
Abstracto	http://lema.rae.es/drae/?val=abstracto	(Del lat. abstractus). 1. adj. Que significa alguna cualidad con exclusión del sujeto. 2. adj. Dicho del arte o de un artista: Que no pretende representar seres o cosas concretos y atiende solo a elementos de forma, color, estructura, proporción, etc.
Concreto	http://lema.rae.es/drae/?val=concreto	Del lat. concrētus). 1. adj. Dicho de un objeto: Considerado en sí mismo, particularmente en oposición a lo abstracto y general, con exclusión de cuanto pueda serle extraño o accesorio. 2. adj. Sólido, compacto, material. 3. adj. Dicho de una cosa: Que resulta de un proceso de concreción. 4. adj. Preciso, determinado, sin vaguedad. 5. m. concreción.
Abierto	http://lema.rae.es/drae/?val=abierto	(Del part. irreg. de abrir; lat. apĕrtus). 1. adj. Dicho comúnmente del campo: Desembarazado, llano, raso, dilatado. 2. adj. No murado, no cercado . 3. adj. Dicho de una persona: Franca, llana, receptiva. 4. adj. Dicho de una relación o de una lista: Susceptible de cambios.
Cerrado	http://lema.rae.es/drae/?val=cerrado	(Del part. de cerrar). 1. adj. Estricto, rígido, terminante. Un criterio muy cerrado 2. adj. Dicho del acento o de la pronunciación: Que presenta rasgos locales muy marcados, generalmente con dificultad para la comprensión. 3. adj. coloq. Dicho de una persona: Muy callada, disimulada y silenciosa o torpe de entendimiento. Cerrado de mollera 4. adj. Fon. Dicho de un sonido: Que se articula estrechando el paso del aire, pudiendo llegar hasta la oclusión total. Vocal cerrada 5. m. cercado (‖ huerto con valla).
Estático	http://lema.rae.es/drae/?val=est%C3%A1tico	(Del gr. στατικός). 1. adj. Perteneciente o relativo a la estática. 2. adj. Que permanece en un mismo estado, sin mudanza en él. 3. adj. Dicho de una persona: Que se queda parada de asombro o de emoción.
Dinámico	http://lema.rae.es/drae/?val=din%C3%A1mico	(Del gr. δυναμικός, de δύναμις, fuerza). 1. adj. Perteneciente o relativo a la fuerza cuando produce movimiento. 2. adj. Perteneciente o relativo a la dinámica. 3. adj. coloq. Dicho de una persona: Notable por su energía y actividad. 4. f. Parte de la mecánica que trata de las leyes del movimiento en relación con las fuerzas que lo producen. 5. f. Sistema de fuerzas dirigidas a un fin. 6. f. Nivel de intensidad de una actividad.
Organización	http://lema.rae.es/drae/?val=organizaci%C3%B3n	1. f. Acción y efecto de organizar u organizarse. 2. f. Disposición de los órganos de la vida, o manera de estar organizado el cuerpo animal o vegetal. 3. f. Asociación de personas regulada por un conjunto de normas en función de determinados fines. 4. f. Disposición, arreglo, orden.
Complejidad	http://lema.rae.es/drae/?val=complejidad	1. f. Cualidad de complejo.
Jerarquía	http://lema.rae.es/drae/?val=jerarqu%C3%ADa	(De hierarquía). 1. f. Gradación de personas, valores o dignidades. 2. f. jerarca. 3. f. Orden entre los diversos coros de los ángeles.